متمتیکا


+ نوسانگر خود محدود کننده – حرکت آشوبناک – Mathematica

فیزیک این برنامه رو در ادامه مطلب ببینید

دانلود برنامه اول

دانلود برنامه دوم

دانلود برنامه سوم


برنامه هایی که براتون گزاشتم چیز سخت و خاصی برای توضیح دادن ندارن و اگه مطالب قبلی رو پیگیر بوده باشید تو این برنامه‌ها هیچ مشکلی نخواهید داشت . بنابراین فیزیک مسئله رو توضیح میدم .

اول بیاد ببینیم منظور از حرکت آشوبناک چیه ؛ وقتی شما یک آونگ رو با زاویه‌ای بیشتر از 6 درجه ( به طور کلی با زوایایی که نشه برای اونها تقریب Sin(x)=x رو بکار برد ) و با شتاب به نوسان در میارید ، آونگ شروع به نوساناتی میکنه که اصلاَ شبیه به حالت نوسان خطی اون نیست . به طور کلی مشخصه‌ی تمام این حرکتها رفتار پیشگویی ناپذیر و غیر تکراری اونهاست . حالا بیاد از نظر ریاضی این مطلبو بررسی کنیم ، این حرکت زمانی اتفاق می افته که معادلات حرکت ، غیرخطی باشن ، یعنی اگر دو جواب مثلاَ x1[t] و x2[t]  برای معادله حرکت غیرخطی وجود داشته باشه هر ترکیب خطی اختیاری از این دو جواب مثلa x1[t] + b x2[t] یک جواب این معادله نخواهد بود. اگه دقت کنید همیشه توی درسایی مثل معادلات دیفرانسیل  جوابهای معادلت رو به صورت ترکیب خطی‌ای از جوابها می‌نوشتیم ، چیزی که اینجا دیگه اعتبار نداره . اگه یادتون باشه قبلاَ حرکت پاندول رو در دو حالت خطی (یعنی با تقریب  Sin(x)=x ) و غیر خطی (بدون این تقریب) بررسی کردیم ، اما اونجا هم از نوسانات کم دامنه استفاده کردیم و میخاستم اینو نشون بدیم که معدله خطی نوسانگر با غیر خطیش برای نوسانات کم دامنه چقدره ، پس اون مسئله رو با چیزی که تو این پست بررسی میکنیم اشتباه نگیرید .

ضمناَ تمام معادلات این برنامه ها تو کتاب فلز هستش و میتونید برای توضیحات بیشتر به اون مراجعه کنید (فصل 7 نوسانگر خود محدود کننده ) .

فایل شماره یک رو ببینید ، اول معادله‌ی حرکتی رو میبینید که مربوط به یک نسانگر هماهنگ ساده است ، اینو از کجا میفهمیم ؟ از شکلی که برامون میکشه ، همونطور که در شکل میبینید این یک نمودار فضای فاز هستش و از این شکل نتیجه میگیریم نوسانگر طی چند چرخه به حالت حدی خودش میرسه و حرکتش به شکل حرکت نوسانگر هماهنگ ساده تبدیل میشه و این حرکت تکراری و قابل پیشگویی هست . اما رفتار آشوبناک رو میشه تو معادله‌ی نوسانگری دوم دید ، به فرق این دو معادله توجه کنید . شکلی که برای این حرکت کشیده شده برای 100چرخه ( از دهمین چرخه به بعد ) محاسبه شده . گرچه این نوسانات در یک ناحیه از فضا بصورت مقید باقی می‌مونند ، اما نه تکرار شدنی‌اند و نه قابل پیشگویی . البته این نکته رو هم بگم بیشتر منظور ازغیر قابل پیشگویی اینه که اگه ما شرایط اولیه رو کمی تغیر بدیم شکل حرکت به کل تغییر پیدا میکنه و مسیرهای فاز کاملاَ متفاوتی رو ایجاد میکنه .

حالا فایل شماره 2 رو ببینید ، این همون معادله‌‌ای هست که تو شماره یک بود اما چیزی اینجا تغییر میکنه ثابتهای معادله هست .

فایل 3 همون معادله‌ی حرکت آونگ ساده هست با افزودن یک جمله‌ی میرا و یک جمله‌ی واداشته ، برای حل اون من یک سری ثابت تعریف کردم حالا خودتون با تغیر دادن این ثوابت ببینید توی جوابها یا بهتر بگم شکلها چه اتفاقی می‌افته.

نویسنده : کامران اینانلو ; ساعت ٤:٠٩ ‎ب.ظ ; سه‌شنبه ۱٧ دی ۱۳۸٧
    پيام هاي ديگران()   لینک